Для уравнения Пуассона через функцию Грина

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона

(14.1)

(14.2)

Предположим, что - функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области . Напомним, что функция представима в виде

(14.3)

(14.4)

Подставим в основную формулу теории гармонических функций (13.8), получим

Итак,

. (14.5)

Если функция Грина и ее производная существуют, то эта формула дает решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Тем самым решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона сможет быть заменено разысканием функции , соответствующей уравнению Лапласа, т.е. задачи, рассмотренной нами ранее.

Полученный результат непосредственно распространяется на внешнюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа . Это вытекает из совпадения основных формул теории гармонических функций для ограниченной и неограниченной областей. Что же касается внешней задачи Дирихле для уравнения Пуассона, то проведение рассуждений, аналогичных проведенным для внутренней задачи, требует обобщения формулы (13.7) для негармонических функций, из которой была получена основная формула теории гармонических функций. Последнее возможно, если повторить проведенные выше рассуждения для основной формулы, следовательно, достаточно, чтобы решение уравнения Пуассона удовлетворяло на бесконечности неравенствам

, (14.7)

при дополнительном условии, что интеграл имеет смысл. В самом деле, для обобщения этой формулы достаточно провести те же рассуждения, что и ранее для основной формулы. Неравенства (14.7) носят название условий регулярности на бесконечности. Итак, решения рассматриваемого класса внешней задачи Дирихле для уравнения Пуассона, регулярные на бесконечности, при условии, что интеграл имеет смысл, также представимы в виде , если только соответствующая функция Грина существует.

§ 15. Представление решения третьей краевой задачи