КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре
Задача состоит в поиске функции , такой, что в шаре , а на границе шара - сфере выполнено условие где непрерывная по функция. Для решения этой задачи вначале построим функцию Грина. Точке шара , такой что , с помощью преобразования инверсии (5.1) сопоставим точку . Возьмем теперь некоторую точку и обозначим через и расстояния и соответственно. Найдем соотношение между и , когда (см. рис.2). Имеем , т.к. - общий и , т.к. . Из подобия этих треугольников следует, что или при . Покажем теперь, что функция ( - инверсия ) есть искомая функция Грина задачи Дирихле для шара . Действительно, функция гармонична по в за исключением точки , где она обращается в бесконечность. При справедливо равенство . Положив , получим, что удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на функцию Грина. Подставив найденную функцию в полученную ранее формулу , получим , (7.7) где дифференцирование ведется по направлению нормали в точке границы . Преобразуем полученную формулу. Имеем . В соответствии с определением дифференцирования по направлению нормами (см. рис.3), имеем . Так как , то Аналогично можно получить равенство . Таким образом (7.8) Из и по теореме косинусов имеем (рис. 4) ; Определим значения и из последних равенств и подставим их в (7.8), после чего получим
Используя равенства и , вычислим Отсюда и из формулы представления решения (7.7) имеем . (7.9) Полученная формула называется формулой Пуассона. Таким образом, если решение внутренней задачи Дирихле для шара существует и если оно непрерывно в замкнутом шаре вместе со своими первыми производными, то оно представлено формулой Пуассона. Докажем теперь, что если - непрерывна, то формула Пуассона (7.9) дает решение внутренней задачи Дирихле. Покажем с этой целью, что интеграл, входящий в правую часть формулы Пуассона есть функция гармоническая в , непрерывная в и принимающая заданные краевые значения. Гармоничность следует из того, что при
( - гармоническая функция, если , а это так, поскольку ). Возьмем и докажем, что если , то . Формула Пуассона справедлива и при , когда решение задачи Дирихле, очевидно, существует и тождественно равно единице . (7.10) Умножим обе части последнего равенства на . Из формулы Пуассона имеем . (7.11) Выберем радиус шара столь малым, чтобы при всех в силу непрерывности имело место неравенство - произвольно мало. Обозначим . Оставшуюся часть сферы обозначим . Равенство (7.11) перепишем в виде (7.12) Оценим в отдельности каждое слагаемое в правой части равенства (7.12). Вначале оценим первый интеграл Оценим теперь второй интеграл в правой части (7.12). Допустим, что в своем стремлении к точке , точка уже подошла настолько близко, что лежит в шаре . Тогда , если . Функция непрерывна на , следовательно, она ограничена: . Отсюда имеем . Когда разность , следовательно, при - достаточно малом. Из оценок двух интегралов имеем . Отсюда в силу произвольности следует . Следствие из формулы Пуассона (Неравенство Гарнака). Рассмотрим нигде не отрицательную в области гармоническую функцию . Пусть . Пусть . Легко видеть, что ядро формулы Пуассона при удовлетворяет неравенствам (т.к. по неравенству треугольника) Из формулы Пуассона непосредственно следует Применив теорему о среднем значении, получим . (7.11) Эта оценка значений положительной гармонической функции в произвольной точке шара через ее значения в центре шара называется неравенством Гарнака. Теорема 7. Функция, гармоническая во всем равна нулю. Доказательство. Пусть - гармоническая при функция. Опишем из начала координат сферу . В шаре в соответствии с формулой Пуассона имеет место равенство Выберем настолько большим, чтобы при имело место неравенство (т.к. гармоническая при ). Тогда . Отсюда и из представления (7.10) вытекает оценка . В силу произвольности теорема доказана.
§ 8. Решение задачи Дирихле для уравнения
|