КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Пример выполнения задания. Изучается движение механической системы, представленной на рис
7.3.1. Условие примера Изучается движение механической системы, представленной на рис. 7.2. Даны следующие значения параметров: Нм, Н, кг, кг, м, м, м.
73.2. Решение примера Рассматриваемая механическая система имеет две степени свободы (n=2). В качестве обобщенных координат назначим угол поворота пластины вокруг вертикальной оси и центральный угол , определяющий положение материальной точки на круговом желобе (рис. 7.3).
Уравнения Лагранжа второго рода для данной механической системы могут быть представлены в виде: , (7.1) .
Здесь - кинетическая энергия системы, и - обобщенные силы, соответствующие назначенным обобщенным координатам. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии пластины и материальной точки : Пластина совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси , поэтому: . Момент инерции пластины относительно оси определяем по теореме Штейнера. Имеем . Таким образом, . Кинетическая энергия материальной точки равна , где - абсолютная скорость точки . По теореме о сложении скоростей . Величина относительной скорости точки . (7.2) Переносная скорость точки . (7.3) Векторы и изображены на рис.7.3. Очевидно, что: , и . Квадрат модуля абсолютной скорости точки вычисляется по формуле Тогда с учетом равенств (7.2) и (7.3), получаем . Кинетическая энергия точки . Окончательное выражение кинетической энергии системы (7.4) Для определения обобщенных сил и сообщаем системе возможные перемещения. Первое возможное перемещение:
Сумма работ активных сил на этом возможном перемещении равна . Тогда . (7.5) Второе возможное перемещение:
В этом случае сумма работ активных сил запишется . Следовательно, . (7.6) Вычисляем частные производные от функции (7.4) кинетической энергии по обобщенным скоростям: , (7.7) (7.8) Далее находим обыкновенные производные по времени от полученных выражений (7.7) и (7.8): (7.9)
(7.10)
Затем вычисляем частные производные от кинетической энергии (7.4) по обобщенным координатам: , (7.11) Подставляя равенства (7.5),(7.6),(7.9)--(7.11) в уравнения (7.1), получаем:
С учетом числовых значений исходных данных дифференциальные уравнения движения рассматриваемой механической системы примут вид: , .
|