КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Пример выполнения задания. Тело D, имеющее форму прямоугольной пластины, показанной на рис
4.3.1. Условие примера Тело D, имеющее форму прямоугольной пластины, показанной на рис. 4.2, массой =20 кг вращается вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью =2 с-1. При этом в точке M желоба AB тела D на расстоянии ÈAM= от точки A, отсчитываемом вдоль желоба, закреплена материальная точка K массой =8 кг. В момент времени на систему начинает действовать пара сил с моментом Нм. При t=t1=4 с действие пары сил прекращается; одновременно точка K начинает относительное движение по желобу согласно закону м. Определить угловые скорости тела D соответственно в моменты времени и t=t2=5 с, если R=0,6 м, a=1,2 м; b=0,9 м
4.3.2. Решение примера Запишем равенство, выражающее теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно оси z , (4.1) где - кинетический момент механической системы, состоящей в данном случае из кинетического момента тела D и кинетического момента точки К, относительно оси z; - главный момент внешних сил, приложенных к системе, относительно оси z. Рассмотрим движение системы в отрезке времени [0;t1]. В произвольный момент времени на систему действуют внешние силы , , , , , , , (рис. 4.3), главный момент которых относительно оси z равен вращающему моменту , то есть . (4.2)
Кинетический момент данной системы равен сумме , где - кинетические моменты тела D и точки K относительно оси z. Тело D вращается относительно неподвижной оси, поэтому . Здесь - угловая скорость тела, а - его момент инерции относительно оси z. Момент инерции тела относительно оси , параллельной оси z и проходящей через центр масс О тела, определяется по формуле (табл. 4.2) . По теореме Штейнера . Таким образом . Кинетический момент материальной точки K, закрепленной в точке М желоба . Скорость точки К . Очевидно, что . Согласно условию задачи длина дуги окружности , тогда центральный угол . Следовательно, в равнобедренном треугольнике ОМО1 и . Имеем . Окончательное выражение кинетического момента системы относительно оси z следующее (4.3) Подставляя выражения (4.2) и (4.3) в равенство (4.1), имеем , откуда . Разделяем в последнем уравнении переменные и интегрируем левую и правую части уравнения: . Тогда с-1. В момент времени t1 из выражения (4.3) имеем Нмс. Рассмотрим теперь движение системы в отрезке времени . После прекращения действия момента на тело D, главный момент внешних сил относительно оси z (см. рис. 4.4). Тогда равенство (4.1) примет вид , то есть . Это означает, что кинетические моменты системы относительно оси в начале t1 и в конце t2 отрезка времени [t1; t2] равны .
В момент времени t2 тело D вращается с угловой скоростью (см. рис. 4.4). При этом точка К, совершая сложное движение, оказывается в точке В желоба. Действительно, центральный угол . Кинетический момент системы относительно оси в конце t2 отрезка времени [t1; t2] также равен сумме кинетических моментов тела и точки : . Очевидно, что По теореме о сложении скоростей: , где , , - абсолютная, относительная и переносная скорости точки. Умножая обе части этого равенства на m2, получаем: . Следовательно, кинетический момент точки К в конце отрезка времени t2 равен сумме моментов векторов и относительно оси z Относительная скорость точки К . При t=t2=5 c найдем величину относительной скорости точки К м/с. Переносная скорость точки К . Из прямоугольного треугольника О1ОВ по теореме Пифагора имеем: . Окончательно получаем Тогда Приравнивая и : , находим с-1.
|