Метод Рунге-Кутта четвертого порядка

В модифицированном методе Эйлера для получения второй производ­ной d²u(xi)/dx² используется конечно-разностная формула (6.52), включающая значения первой производной u'(x) и u'(x_i+h) в начальной и конечной точках шага. Если подобным же образом вычислить третью производную, рас­считав предварительно вторую производную в двух точках шага, то можно с помощью (6.49) построить расчетную формулу метода третьего порядка точности. Для этого потребуется определить первую производную u'(x) в дополнительной промежуточной точке между x_i и x_i + h.

Аналогичные рассуждения позволяют вывести расчетные формулы ме­тодов более высоких порядков, обеспечивающих заметное снижение по­грешности решения. Однако на практике их реализация требует существен­ного повышения объема вычислений с использованием дополнительных промежуточных точек на каждом шаге.

Существуют и другие способы построения численных методов с высо­ким порядком точности. Один из них, применяемый при построении группы методов Рунге-Кутта, заключается в аппроксимации решения дифференци­ального уравнения суммой

(6.54)

где A_n - коэффициенты разложения, k_n - последовательность функций

(6.55)

, 0 < m < n <p - некоторые параметры.

Неизвестные параметры A_n, можно выбрать из условия

(6.56)

где функция показывает отклонение приближенного решения от точного . Увеличение параметра p в (6.54) позволяет сделать погрешность, связанную с заменой точного решения приближенным, как угодно малой.

Предположим, что p =1. Тогда, подставляя (6.54) в (6.56), из условия получим A₁ = 1 и , откуда

что соответствует формуле Эйлера (6.51). Таким же образом можно получить формулы более высоких порядков точности, которые называют методами Рунге-Кутта.

Одним из наиболее известных является вариант метода Рунге-Кутта, соответствующий p = 4. Это метод четвертого порядка точности, для которо­го ошибка на шаге имеет порядок h⁵. Его расчетные формулы имеют сле­дующий вид:

где

Рассмотренные выше метод Эйлера и его модификация по сути дела являются методами Рунге-Кутта первого и второго порядка соответственно. Несмотря на увеличение объема вычислений метод четвертого порядка имеет преимущество перед методами первого и второго порядков, так как он обес­печивает малую локальную ошибку. Это позволяет увеличивать шаг интег­рирования h и, следовательно, сокращать время расчета.