Теоретические основы метода статистического моделирования. Взаимосвязь между количеством испытаний и достоверностью получаемых результатов

Метод статистического моделирования

Основные понятия и определения

Основная идея метода статистического моделирования (другие его названия - метод статистических испытаний, метод Монте-Карло) заключается в следующем. Вместо того, чтобы описывать случайный процесс при помощи аналитического аппарата (алгебраических либо дифференциальных уравнений, законов распределения), производится розыгрыш случайного явления (в кораблестроительных задачах - морского боя, состояния нагрузки корабля, нерегулярного морского волнения и определяемых морским волнением процессов) при помощи специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат. Тогда, после многократного повторения такой операции, мы получим набор конкретных осуществлений (реализаций) соответствующего случайного процесса в зависимости от времени. Это множество реализаций можно трактовать как статистический материал, который обрабатывается известными методами математической статистики. В результате такой обработки можно получить все интересующие нас характеристики вероятности событий: законы распределения, статистические моменты, заключение о характере процесса (марковский, немарковский). Таким образом, метод статистических испытаний - это метод сбора исходных данных, необходимых для вычисления статистических оценок для тех или иных применяемых в ИО величин.

Применение метода статистического моделирования выгодно тогда, когда мы, с одной стороны, рассматриваем некоторое сложное явление, вероятностные характеристики которого нам неизвестны. Но, с другой стороны, это явление легко может быть составлено из ряда реализаций простых случайных явлений, вероятностные характеристики которых заданы.

Для определения таких характеристик необходимо собрать соответствующий статистический материал. Очевидно, однако, что сбор статистического материала об отдельных этапах какого - либо процесса - это задача существенно более простая, чем сбор такого материала о процессе в целом. Часто для вычисления статистических характеристик на отдельных этапах процесса применяются аналитические методы. Тогда можно найти вероятностные характеристики сложного явления в такой последовательности, [29]:

-сложное явление расчленяется на ряд простых явлений;

-по изложенным ниже схемам находятся реализации простых явлений, которые отвечают известным вероятностным характеристикам этих явлений;

-по реализациям простых явлений составляется реализация сложного явления;

-полученные в результате большого числа испытаний реализации сложного явления обрабатываются методами математической статистики и таким способом получаются искомые вероятностные характеристики сложного явления.

Рассмотрим сопоставительную характеристику метода статистического моделирования и аналитических методов. Достоинством метода статистического моделирования является относительная простота расчётных алгоритмов - которая, однако, сопровождается громоздкостью соответствующих вычислительных программ и большими затратами машинного времени на их реализацию. Очень существенно, что при применении этого метода можно обойтись без многих допущений и ограничений, которые неизбежно сопровождают аналитические методы. В то же время неправильно считать, что метод статистического моделирования может вообще обойтись без упрощающих допущений - просто этих допущений меньше и они не столь сильные, как в аналитических методах. Недостатками метода статистического моделирования по сравнению с аналитическими методами являются сложность оптимизации исследуемых процессов, а также отсутствие наглядности. Так, при использовании аналитических зависимостей во многих практически важных случаях можно аналитически выполнить предельный переход, отвечающий граничным значениям исследуемой величины. А по виду зависимостей, которые отвечают этому переходу, можно сделать важные выводы о характере процесса в целом. В методе статистических испытаний операция предельного перехода реализуется значительно более сложно и менее наглядно.

В соответствии со сказанным область практического применения метода Монте-Карло такова:

1.Моделирование сложных, комплексных явлений, где присутствует много взаимодействующих факторов. В этом случае метод Монте-Карло оказывается проще аналитического решения.

2.Проверка применимости более простых аналитических методов.

Теоретической основой метода статистического моделирования служит известный из теории вероятности закон больших чисел, более подробно эти вопросы рассмотрены в следующем подразделе. На основании этого закона вместо математического ожидания той или иной случайной величины можно пользоваться средним арифметическим таких значений этой случайной величины, которые получены при независимых испытаниях.

Основным элементом, из совокупности, которых складывается статистическая модель, является одна случайная реализация анализируемого процесса со всеми присущими ему случайностями. Такая реализация разыгрывается с помощью специально разработанного алгоритма. Этот алгоритм включает совокупность последовательностей аналитических расчётов, перемежаемых процедурой «бросания единичного жребия». Эта процедура наступает всякий раз, когда в ход морского боя вмешивается случай и необходимо дать ответ на один из следующих вопросов:

1.Произошло или нет случайное событие

2.Какое из случайных событий , образующих полную группу, произошло?

3.Какое значение приняла дискретная случайная величина ?

4.Какое значение приняла непрерывная случайная величина ?

5.Какую совокупность значений приняла совокупность случайных величин

При этом вероятности событий (величины ) и плотности вероятности случайных величин (величины ) на данном этапе считаются заранее известными. Затем, в следующем приближении, их можно при необходимости уточнить, применив для обработки совокупности полученных реализаций методы математической статистики. Тогда для ответа на любой из этих вопросов достаточно задаться случайным числом . Для получения таких чисел существуют специальные алгоритмы. Описывать их мы здесь не будем. Скажем лишь, что в математическом обеспечении большинства ПЭВМ имеется специальная подпрограмма, называемая датчиком случайных чисел. К этой программе и следует обращаться всякий раз, когда нам необходимо случайное число . Дадим теперь ответы на заданные выше вопросы, [29].

1.Событие произошло, если , и не произошло в противном случае.

2.Если события образуют полную группу, то . Поскольку , то в интервале целых чисел от 1 до найдётся число такое, что , тогда как . В этом случае из событий произошло то событие, номер которого .

3.Необходимо располагать рядом распределения соответствующей дискретной случайной величины , . Компоненты ряда распределения представляют собой вероятности того, что случайная величина примет значение, равное , при этом - как и для вероятностей составляющих полную группу событий - справедливо соотношение . А если это так, то задача, по существу, сводится к предыдущей задаче. Поскольку , то в интервале целых чисел от до найдётся число такое, что , тогда как . Тогда .

4.От плотности вероятности непрерывной случайной величины перейдём к её интегральному закону распределения

и выразим как функцию

(1.104А)

где символ «(-1)» в показателе степени характеризует переход к обратной функции.

Разыграв случайное число , найдём случайное число как

.

Пусть и - нормальные распределения и , так что

,

где - первый и второй статистические моменты случайной величины , а в ранее принятых обозначениях при имеем , .

Тогда вместо соотношения (1.104А) можно пользоваться формулой вида

(1.104Б)

где .

С учётом некоторых специфических свойств нормального распределения можно придти к формуле [29]:

,

где - сумма шести случайных чисел , полученная путём последовательного шестикратного обращения к датчику случайных чисел.

Пусть величина , распределена по закону Рэлея, так что

и .

Тогда

. (1.105)

Пусть теперь величина распределена по центрированному показательному закону, так что и , где - параметр распределения, , где - среднее значение . Тогда

Пусть, наконец, случайная непрерывная величина , подчинена равномерному распределению, так что

.(1.106)

В этом случае

.

5.Если случайные величины независимы, то следует раз повторить описанную только что процедуру. Если же эти величины зависимы, то каждую последующую величину следует разыгрывать по соотношению (1.104А) на основе её условного закона распределения- при условии, что все предыдущие величины приняли полученные в результате розыгрыша значения.

До сих пор мы ограничивались «доброкачественной» (по терминологии Е. С. Вентцель) неопределённостью, когда возможно оценить законы распределения либо численные характеристики влияющих на исход боя факторов. Но возможна и т. н. «дурная» неопределённость, когда некоторые параметры, определяющие ход и исход операции, неизвестны, и нет никаких данных, позволяющих судить о том, какие их значения более, а какие менее вероятны. Неопределёнными в таком смысле могут быть как объективные, так и субъективные условия. К объективным условиям относится, например, военно-политическая обстановка перед боем. Примеры субъективных условий - какое решение примут командир соединения и (или) командиры кораблей противоположной стороны, насколько оно склонны к рискованным операциям и т. д. В этом случае можно рекомендовать производить розыгрыш, вводя эти неопределённые величины как параметры (условно постоянные величины). В итоге будут получены различные результаты, отвечающие различным комбинациям параметров. Решение об окончательном выборе из этих результатов будет полностью субъективным, упомянутые выше критерии здесь играют только сугубо вспомогательную роль.

Теоретические основы метода статистического моделирования. Взаимосвязь между количеством испытаний и достоверностью получаемых результатов

Рассмотрим теперь теоретические основы метода статистического моделирования. Это позволит нам также установить важную для практических приложений связь между количеством испытаний и достоверностью получаемых результатов.

В основе метода статистического моделирования лежат закон больших чисел и т.н. статистическое определение вероятности. Наряду с этим известно ещё и т.н. классическое определение вероятности. Мы не будем здесь подробно обсуждать классическое определение, отсылая интересующихся к очень содержательному учебнику академика Б.В. Гнеденко, [44]. А на статистическом определении вероятности мы остановимся подробнее, а затем перейдём к закону больших чисел.

Иногда под случайным событием понимают событие, которое может произойти или не произойти. Однако, строго говоря, это условие является необходимым, но недостаточным. Случайным событием следует называть событие, которое может произойти или не произойти (необходимое условие) с некоторой вероятностью (достаточное условие). Если же определить вероятность того, произойдёт это событие или нет, почему-либо не представляется возможным, то такое событие следует отнести к неопределённым событиям. В последнем случае говорят, что такое событие не имеет вероятности, [44]. Здесь налицо прямая аналогия с задачами, которые мы рассматривали в разделах 1.7 и 1.8 соответственно.

Событие , которое может произойти или не произойти с некоторой вероятностью (случайное событие), должно обладать такими двумя особенностями (свойствами), [44], с. 45:

-можно, по крайней мере, принципиально, провести в некоторых неизменных условиях неограниченное число независимых друг от друга испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться событие ;

-в результате достаточно многочисленных испытаний замечено, что частота события почти для каждой большой группы испытаний лишь незначительно отклоняется от некоторой (вообще говоря, неизвестной) постоянной.

За численное значение этой постоянной при большом числе испытаний может быть приближённо принята или частота события , или число, близкое к частоте. Вероятность случайного события, определённого таким образом, носит название статистической вероятности.

Частоты обладают такими свойствами:

-частота достоверного события равна единице;

-частота невозможного события равна 0;

-если событие , которое может произойти либо не произойти, является суммой конечного числа несовместимых событий , каждое из которых является случайным в указанном выше смысле (иными словами, имеет вероятность ), то событие также является случайным и его вероятность есть .

Теоретической основой метода статистического моделирования являются предельные теоремы теории вероятностей. Это локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа, [38,44,123], а также теорема Ляпунова.

Пусть выполняется независимых опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое случайное событие , а число наступлений события в этих опытах есть . Пусть в каждом из опытов событие происходит с вероятностью , или соответственно не происходит с вероятностью . Пусть, далее, есть вероятность того, что случайная величина заключена в пределах от до . Тогда в соответствии с интегральной предельной теоремой Муавра-Лапласа справедливо соотношение

.

Это соотношение имеет ряд важных практических приложений. В качестве первого такого приложения найдём вероятность выполнения неравенства вида

,

где - любая положительная, но конечная величина.

А величина может трактоваться как погрешность метода статистического моделирования, [111].

Далее введём обозначение: - вероятность удовлетворения неравенства. Тогда, поскольку

то в силу интегральной предельной теоремы Муавра-Лапласа

.

Таким образом, при любом положительном, но конечном вероятность неравенства вида при бесконечном увеличении количества опытов стремится к 1.

Это соотношение носит название закона больших чисел или закона Бернулли. Из этого закона вытекает ценное для практических приложений неравенство, полученное известным российским математиком П.Л. Чебышевым (неравенство Чебышева):

где - вероятность выполнения неравенства Чебышева.

Тогда получается, что . Поэтому для снижения погрешности в раз количество опытов приходится увеличивать в раз.

Пусть, далее, производится независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события равна . Рассмотрим несколько важных с точки зрения практического применения метода статистических испытаний задач, решение которых получается на основе теоремы Муавра-Лапласа.

Задача 1. Чему равна вероятность того, что частота наступления события отклонится от вероятности не более, чем на ?

Задача 2. Какое наименьшее число испытаний нужно произвести для того, чтобы с вероятностью, не меньшей , частота отклонялась бы от вероятности не более, чем на ?

Здесь нам необходимо определить потребное количество испытаний из условия:

Тогда для определения приходим к соотношению вида:

.

Здесь и далее запись « » читается: «неизвестная величина определяется из условия, что функция этой величины равна известной величине ».

Задача 3.При данной вероятности и числе испытанийтребуется найти границу возможных изменений . Иными словами, зная и , нужно найти , для которого выполняется равенство

Из всего сказанного представляется очевидным, что

.