Формулы Френе. Понятие о натуральных уравнениях кривой

Систему формул

называют формулами Френе.

Уравнения

называются натуральными уравнениями кривой. Натуральные уравнения определяют кривую с точностью до положения в пространстве.

Лекция № _6_.

Тема: ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ__

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Топологическое определение поверхности в пространстве. Параметризация. Гладкие поверхности.

2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Краткое содержание лекционного материала

2. Топологическое определение поверхности. Параметризация.

Определение 1. Множество точек на плоскости называется элементарной областью, если оно является образом открытого круга при топологическом отображении его в пространство.

Внутренность квадрата, прямоугольника, эллипса, простого многоугольника является элементарной областью.

Определение 2. Элементарной поверхностью называется множество точек пространства, гомеоморфное элементарной области.

Параметрические уравнения поверхности

Векторное уравнение поверхности:

( — радиус-вектор точки )

Если поверхность задана уравнениями (1) или (2), говорят, что она задана параметрически: и называют криволинейными координатами точки поверхности.

Определение 3. Простой поверхностью называется связное множество точек пространства, каждая точка которого имеет окрестность на этом множестве, гомеоморфную элементарной поверхности.

Определение 4. Общей поверхностью называется образ простой поверхности при локально топологическом отображении ее в пространство.

Каждая точка общей поверхности имеет окрестность, являющуюся элементарной поверхностью.