КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Неравенство второй степени с одним неизвестным(квадратное неравенство) Неравенство вида ах2 + вх + с 0, где а 0, называют квадратным неравенством. Чтобы решить квадратное неравенство вида ах2 + вх + с > 0, а 0, достаточно узнать, при каких значениях х график трехчлена находится в верхней полуплоскости, для чего необходимо вычислить дискриминант квадратного трехчлена: в2 – 4ас. Если в2 – 4ас > 0, то данному неравенству удовлетворяют все числа, больше большего корня и меньше меньшего корня. Если в2 – 4ас < 0, то неравенству удовлетворяют все R. Если в2 – 4ас = 0, то неравенству будут удовлетворят все R, кроме . Неравенству ах2 + вх + с < 0, а 0, при в2 – 4ас > 0 удовлетворяю все те значения х, которые больше меньшего корня трехчлена, но меньше большего корня. Если в2 – 4ас 0, то неравенство не имеет решений. Пусть Д = в2 – 4ас, х1 и х2 – корни квадратного трехчлена. Проведем исследование квадратного трехчлена.
Д > 0, а > 0 Д = 0, а > 0 Д > 0, а > 0
х (– ; х1) (х2; + ) х (– ; х1) (х2; + ) х (– ; + )
Д > 0, а < 0 Д =0, а < 0 Д < 0, а < 0
х (х1; х2) х (решений нет) х (решений нет) Пример 1. Решите неравенство х2 – 5х + 6 > 0. Решение. Найдем дискриминант квадратного трехчлена х2 – 5х + 6. Д = 52 – 4 · 6 = 1. Д > 0 квадратный трехчлен имеет два корня. Найдем корни, решив уравнение х2 – 5х + 6 = 0, х1 = 3; х2 = 2 х2 – 5х + 6 = (х – 3)(х – 2) и исходное неравенство равносильно неравенству (х – 3)(х – 2) >0 х – 3 > 0, х > 3, х – 2 > 0, х > 2, х > 3 х – 3 < 0, х < 3, х – 2 < 0, х < 2, х < 2 Следовательно, множество решений неравенства х2 – 5х + 6 > 0 есть множество (– ; 2) (3; + ). Пример 2. Решить неравенство 12х2 – х – 6 < 0. Решение. Рассмотрим функцию у = 12х2 – х – 6. Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх. Найдем нули функции, решив уравнение 12х2 – х – 6 = 0, имеем: . Изобразим схематически график функции у = 12х2 – х – 6. Очевидно, что у < 0 при х ( ).
Пример 3. Решить графически неравенство – 2х2 – 5х + 3 0. Решение. Рассмотрим функцию у = – 2х2 – 5х + 3. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Решив уравнение – 2х2 – 5х + 3 = 0, находим нули функции: у = 0 при х1 = – 3; х2 = 0,5. Изобразим схематически график функции у = – 2х2 – 5х + 3.
Очевидно, что у 0 при х [– 3; 0,5]. Следовательно, множество решений неравенства – 2х2 – 5х + 3 0 есть множество [– 3; 0,5]. Пример 4. Решите неравенство 7х2 – 4х + 1 > 0. Решение. Д = 42 – 4 · 7 = – 12, Д < 0, коэффициент а = 7 больше нуля, то решением неравенства 7х2 – 4х + 1 > 0 является любое R. Ответ: (– ; + ). Пример 5. Решите неравенство х2 – 8х + 17 < 0. Решение. Найдем дискриминант квадратного трехчлена х2 – 8х + 17. Д = 82 – 4 · 17 = – 4, Д < 0, коэффициент а = 1 > 0, следовательно, неравенство х2 – 8х + 17 < 0 не имеет решений. Пример 6. решите систему следующих неравенств: х2 – 10х + 21 > 0, х2 – 16 < 0. Решение. Для решения неравенства х2 – 10х + 21 > 0 рассмотрим функцию у = х2 – 10х + 21. График функции парабола, ветви направлены вверх. Из уравнения х2 – 10х + 21 = 0 находим нули функции: у = 0 при х1 = 3 и х2 = 7. Изобразив схематично график функции у = х2 – 10х + 21 видим, что у > 0 при х (– ; 3) (7; + ).
Множество решений неравенства х2 – 10х + 21 > 0: (– ; 3) (7; + ). Решим неравенство х2 – 16 < 0, рассмотрев функцию у = х2 – 16. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Решив уравнение х2 – 16 = 0, находим нули функции: у = 0 при х1 = 4 и х2 = – 4. Изобразив схематично график функции у = х2 – 16, видим, что множество решений неравенства х2 – 16 < 0: (– 4; 4).
Очевидно, что множество решений системы неравенств (– 4; 3). Ответ: (– 4; 3).
|