Закон противоречия в логике. Примеры

Условием истинного познания выступает также требование непротиворечивости мышления. Суть его раскрывается в формально-логическом законе противоречия, который можно сформулировать следующим образом: в процессе рассуждения о каком-либо определенном предмете нельзя одновременно утверждать и отрицать что-либо в одном и том же отношении, в противном случае оба суждения не могут быть вместе истинными.
Закон противоречия принято выражать в виде формулы:
Где А и – два суждения (положительное и отрицательное), ^ - знак конъюнкции (читается как «и»), черта сверху означает отрицание всей формулы. Рассмотрим действие закона противоречия на следующем примере. Два суждения: «Иванов знает английский язык» и «Иванов не знает английского языка» не могут быть истинными, если относительно обоих суждений, во-первых, выполняется требование закона тождества (понятие «знать английский язык» определено); во-вторых, суждения относятся к одному и тому же времени и, в-третьих, утверждение и отрицание рассматриваются в одном и том же отношении (относятся к одному и тому же лицу). Противоречия не возникло бы, если бы речь шла о разных людях, но однофамильцах. То же можно сказать, если бы речь шла о разных временах: в одном случае Иванов – студент, в другом – он же, но уже доктор технических наук, 20 лет спустя. Существенным является то, что понимается под знанием английского языка; в одном случае это умение читать специальную литературу без словаря, в другом – способность работать в качестве переводчика. Мы видим, что здесь требуется выполнение закона тождества не только в отношении субъекта («Иванов»), но и предикатов в суждении («знает английский язык»).

Закон противоречия справедлив относительно любых видов противоположных суждений в обыденном и научном мышлении. Он играет важную роль в теории дедуктивного вывода и построении доказательства, поскольку выступает определяющим моментом в понимании и обосновании логической необходимости следования заключений из посылок. Следование заключения из посылок является логически необходимым лишь в том случае, когда при отрицании заключения мы не вступаем в противоречие с посылками умозаключения. (Эта ситуация будет рассмотрена в следующей лекции).

Закон противоречия играет важную роль в научной теории. Появление формально-логических противоречий в составе научной теории ставит под сомнение возможность ее обоснования и применения целиком всей этой теории на практике. В логике справедливо следующее правило: из логического противоречия (логически противоречивого выражения) следует любое суждение. Иначе говоря, если научная теория, использующая классическую дедуктивную логику, содержит логическое противоречие, то истинные и ложные положения выводимы в этой теории в равной мере. Использовать для практических целей такую теорию нецелесообразно. Подобные ситуации возникают нередко и в сфере нашей правовой теории, когда нормативные положения одних законодательных актов, будучи нечетко сформулированными, входят в противоречие с уже действующими законодательными актами, нормы которых следовало бы или скорректировать с учетом изменений, или отменить. Так как это не делается должным образом и вовремя, наше законодательство далеко не всегда является эффективным: оно создает возможность как превратного толкования законов, так и возможность их обхождения. Ясно, что в правовой науке и практике закон противоречия играет очень важную роль. Он выступает стимулом к усовершенствованию, а то и перестройке науки. Это можно проследить на примерах из области физики, математики и других наук.

В начале ХХ в. в физике возникла критическая ситуация, суть которой состояла в том, что квантовая механика (новое направление в физике) настаивала на двойственной природе микрочастицы, то есть электрон, например, рассматривался как частица и как волна одновременно, тогда как классическая механика Ньютона требовала рассматривать материальное тело как массу – основу природы. Масса (вещество) и волна (поле) казались противоположными субстанциями физической реальности. Нильс Бор, датский физик, ввел известный принцип, получивший название «принцип дополнительности», который «примирил» эти противоположности и стал общим принципов при изучении явлений микромира. Таким образом, стремление избежать противоречия «вещество-поле» привело к формулировке нового научного принципа.
Другой подобный пример из области математики. В конце Х!Х в. теория множеств Г. Кантора утвердилась как фундамент всего здания классической математики. Однако еще при жизни Г. Кантора и в последующее время в ней были обнаружены парадоксы, или антиномии. Под парадоксом логика понимает противоречие, полученное в результате внешне логически правильного рассуждения, приводящее к взаимно противоречащим заключениям. Наличие парадокса означает несостоятельность какой-либо из посылок (аксиом), хотя эту несостоятельность бывает трудно обнаружить, объяснить и тем более устранить. Еще в античном мире были обнаружены парадоксы, связанные с понятием истины. Наиболее интересным считается парадокс лжеца, приписываемый Эвбулиду. Его суть такова. Берется утверждение: «Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно». Легко обнаружить, что это утверждение без противоречия нельзя считать ни истинным, ни ложным. Если предположить, что оно истинно, то мы придем к противоположному заключению, т.к. его ложность постулируется в самом утверждении. Если же допустить, что оно ложно, то мы придем к выводу, что оно должно быть истинным, поскольку мы действительно говорим, что признаем неправду. Возникает парадокс.

Среди множества парадоксов в связи с теорией множества Г. Кантора рассмотрим тот, который получил название парадокса Рассела-Цермело; он касается множества всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента. Сам Б. Рассел, английский логик, математик и философ, отмечал, что он пришел к открытию этого парадокса путем применения канторовского метода доказательства о несуществовании наибольшего кардинального числа к классу всех воображаемых объектов. Такой класс должен содержать себя в качестве члена. Но обычно класс не является собственным членом. Б. Рассел привел пример парикмахера, который бреет всех тех жителей деревни, которые не бреются сами. На вопрос, бреет ли он себя, нельзя дать никакого определенного ответа: ибо если он скажет «да», то он не войдет в класс тех, кто ходит к парикмахеру (они сами не бреются); если он скажет «нет», то он войдет в класс клиентов парикмахера, но сам им не окажется.

Этот и другие парадоксы теории множеств Г. Кантора поставили проблему пересмотра некоторых принципов математики и логики, ибо они были сформулированы на языке математики и логики и включали только такие термины, как множество или класс, кардинальные и ординальные числа и др. Ряд парадоксов был связан с использованием обычного языка, это так называемые семантические парадоксы(например, парадокс лжеца); их разрешение требует реконструкции существующего естественного языка, и прежде всего устранения из него двусмысленных и неопределенных выражений.

Парадоксы резко изменили отношение математиков к канторовской теории множеств. Среди них возникли различные направления и школы, каждая из которых по-своему стала решать вопросы обоснования математики и предлагала свои методы устранения парадоксов. Так математика обрела новые стимулы к развитию.

29. Основные законы логики: закон исключенного третьего и закон достаточного основания.

Закон исключенного третьего следует рассматривать как дальнейшее уточнение требований непротиворечивости, последовательности и определенности, предъявляемых к мышлению. Он должен способствовать устранению из наших рассуждений неопределенных, двусмысленных выражений, употреблению определенных вопросов и ответов в дискуссиях и т.п.

Закон исключенного третьего имеет силу лишь при условии соблюдения требований ранее изложенных законов тождества и противоречия и может быть сформулирован следующим образом: в процессе рассуждения необходимо доводить дело до определенного утверждения или отрицания, в этом случае истинным оказывается одно из двух отрицающих друг друга суждений.

Смысл закона исключенного третьего выражает формула:

Где А есть суждение, – его отрицание, ^ – знак конъюнкции, читается как «ИЛИ».
Этим законом исключается истинность какого-либо третьего суждения, кроме того суждения, к которому мы пришли, или его отрицания. Здесь предлагается сделать выбор из двух противоречащих друг другу суждений. Одно из них должно быть непременно истинным. При этом закон не указывает, какое именно из суждений истинно, но указывает, что истина лежит лишь в пределах этих двух суждений, а не какого-то третьего. Закон исключенного третьего имеет силу относительно любых пар суждений, в которых одно утверждает то, что отрицается в другом. Например, из высказываний: (1) «Все планеты имеют спутники» и (2) «Неверно, что все планеты имеют спутники» (или то же самое «Некоторые планеты не имеют спутников») истинным является только одно, а именно (2). Никакого «третьего высказывания», которое также было бы истинным, между ними образовать нельзя.

Суждения (1) и (2) находятся в отношении противоположности друг к другу. Заметим особо, что закон исключенного третьего имеет обязательную силу лишь для определенного вида противоположности между высказыванием и его отрицанием, а именно для отношения контрадикторной противоположности. Наш пример как раз включает суждения такого вида.

Для отношения же контрарной или так называемой диаметральной противоположности закон исключенного третьего силы не имеет. Если мы сравним суждение (1) «Все планеты имеют спутников» с суждением (3) «Ни одна планета не имеет спутников», то обнаружим, что ни одно из них не может быть истинным, оба суждения ложны. В то же время между ними угадывается некое «третье суждение» (2) «Некоторые планеты не имеют спутников», которое как раз и оказывается истинным. Суждения (1) и (3) не удовлетворяют закону исключенного третьего. Это обстоятельство в отдельных случаях может выступать показателем контрарной противоположности между суждениями. Любая пара суждений, подчиняющаяся действию закона исключенного третьего, подчиняется также и закону противоречия, но не обязательно имеет место обратное.
Несмотря на ограниченность своего применения, закон исключенного третьего играет все же значительную роль как в практике познания, так и в решении многих чисто логических вопросов. Он лежит в основе многих умозаключений и доказательств от противного (косвенных доказательств). В косвенных доказательствах устанавливается ложность противоречащего доказываемому суждению положения, что на основании закона исключенного третьего позволяет заключать об истинности доказываемого суждения.

Приведем пример. Допустим, нам надо доказать истинность следующего суждения: «Луна есть спутник планеты Земля». Для этого мы выдвигаем противоречащее суждение: «Луна не есть спутник планеты Земля». Устанавливая ложность этого суждения, мы выдвигаем такой аргумент: если бы Луна не была спутником планеты Земля, она бы не появлялась постоянно на ночном небе в ясную погоду в точно зафиксированных точках пространства. Но так как появление Луны в указанных точках и при указанных условиях есть эмпирический факт, то предположение о том, что Луна не есть спутник Земли, неверно. Следовательно, «Луна есть спутник планеты Земля». Другой аргумент, опровергающий противоречащее суждение: если бы Луна не была спутником планеты Земля, то периодичность приливов и отливов на побережье мировых океанов (6 часов) не имела бы места (не происходила). Но так как приливы и отливы в связи с движением Луны вокруг Земли доказаны наукой, наше допущение о том, что Луна не есть спутник Земли, неверно. Следовательно, истинно, что «Луна есть спутник планеты Земля».

А вот другой пример, известный как исторический факт. Сторонники геоцентрической модели мироздания, системы Птолемея-Аристотеля утверждали: (1) «Земля есть центр Вселенной, она неподвижна, а Солнце и планеты вращаются вокруг нее». Из числа аргументов в пользу этого положения выдвигался и такой аргумент: (2) «Земля не есть центр Вселенной; она, как и все другие планеты, вращается вокруг Солнца». Теперь этот контраргумент подвергался критическому анализу, в частности, указывалось на то, что если бы Земля вращалась вокруг Солнца, то птицы, взлетев в небо, не смогли бы приземлиться (она ушла бы от них), а облака не могли бы зависать над Землей и улетели бы прочь. Так как ни того, ни другого никогда не происходило и не происходит, в чем мог и может убедиться каждый, то аргумент (2) оказывается ложным, тогда аргумент (1) – истинным.

Данный аргумент был опровергнут Н. Коперником, который методом наблюдений звездного неба и вычислений небесных тел пришел к выводу о том, что Земля находится в движении вокруг Солнца. Что же касается птиц и облаков, то их «привязанность» к Земле при ее движении стала поводом для дальнейших научных исследований этого явления как факта. Подобные примеры знакомы студентам из школьного курса геометрии, когда при доказательстве теорем неоднократно использовалось доказательство от противного.
Как мы могли убедиться, закон исключенного третьего не содержит указания на то, какое именно из двух противоречащих друг другу суждений истинно. Решение этого вопроса выходит за рамки логики и требует обращения к практике как критерию истины.

Важным условием правильного мышления является также свойство доказательности. Это свойство мысли выражается в законе достаточного основания, который формулируется следующим образом: в процессе рассуждения достоверными следует считать лишь те суждения, относительно истинности которых могут быть приведены достаточные основания.

Рассуждение, в котором истинность некоторого положения не просто утверждается, но указываются основания, в силу которых мы не можем не признать его истинным, следует считать доказательным. При этом под достаточными основаниями истинности некоторого суждения понимается совокупность обязательно истинных других суждений, из которых первое следует с логической необходимостью. В состав этих истинных суждений могут входить аксиомы, определения, суждения непосредственного восприятия, истинность которых установлена опытным путем; суждения, истинность которых доказана с помощью других истинных суждений.

В формулировке закона содержится выражение «могут быть приведены», оно означает, что основания – истинные суждения – не обязательно должны формулироваться явным образом, но могут лишь подразумеваться, хотя и могут быть всегда выявлены при уточнении формы доказательства доказываемого (основного) положения. Следование основного положения из своих «достаточных оснований» - обязательно истинных суждений – должно быть логически необходимым, т.е. таким, что при отрицании основного положения мы вступаем в противоречия с его достаточными основаниями.

Доказательное рассуждение не только утверждает истинность некоторого положения, но и обосновывает его истинность. Закон достаточного основания требует выводить новые положения из уже твердо установленных, проверенных, доказанных истин.

Закон достаточного основания выражает лишь в общем виде требование исчерпывающего учета всех оснований для каждой истины. В нем не указывается, какое именно основание должно быть в каждом отдельном случае (простого факта или ранее доказанных положений), где и каким образом обнаруживается это основание. В законе утверждается только, что оно должно быть. Особенность основания для каждой истины базируется на содержании той области знания, к которой истина относится. Приведем пример. Достаточным основанием истинности суждения (1) «Летом теплее, чем зимой» может служить показание термометра (факт эмпирический) или истинное суждение (2) «Летом ртутный столбик термометра стоит выше, чем зимой», из которого (1) следует логически необходимым образом.

Закон достаточного основания вытекает из принципа, согласно которому причинно-следственные связи имеют всеобщий характер: одно явление с необходимостью вызывает друге; всякое действие имеет свою причину, равно как всякая причина вызывает определенное действие.
Следуя указанному закону, мы должны стремиться избегать распространенной логической ошибки, в основе которой лежит иллюзия: «после этого, значит, по причине этого» (post hoc ergo propter hoc – лат.). Чтобы не впасть в эту иллюзию, мы должны опираться на знание внутренних, необходимых связей между предметами, иначе основание вывода будет легковесным, зыбким.

Большинство истин науки получено с помощью доказательств, путем обоснования через другие достоверные положения. Они могут быть либо истинами, получившими практическое подтверждение, либо результатом умозаключения из уже проверенных, т.е. достоверных истин. Закон достаточного основания требует, чтобы истина не просто утверждалась, но всегда могла быть доказана.

30.Общая характеристика умозаключения.

Умозаключение - это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, свя­занных между собой, с логической необходимо­стью выводится новое суждение. Логическая сущность умозаключения состоит в движении мысли от анализа имеющегося знания к синтезу нового знания. Это движение имеет объектив­ный характер и определяется реальными связя­ми действительности. Объективная связь, отраженная в сознании, обеспечивает логическую связь мыслей. Напротив, отсутствие объектив­ных связей действительности приводит к логиче­ским ошибкам.

Структура любого умозаключения включает три элемента:

1) исходное знание, выражающееся в посыл­ках;

2) обосновывающее знание, выражающееся в правилах умозаключения;

3) выводное знание, выражающееся в заклю­чении или выводе.

При анализе умозаключения посылки и заключение принято записывать отдельно, располагая их друг над другом. Заключение записывают под гори­зонтальной чертой, отделяющей его от посылок и обозначающей логически следование. В соответствии с этим рассмотрим следующий пример умозаключения:

Все граждане России имеют право на образование - посылка

Новиков - гражданин России - посылка

Новиков имеет право на образование- заключение

При наличии содержательной связи между посылками можно получить в процессе рассуждения новое истинное знание при соблюдении двух условий.

Во-первых, должны быть истинными исходные суждения - посылки. Однако следует иметь в виду, что иногда и ложные суждения могут дать истинное заключение. Так, в результате специального подбора ложных посылок в следующем рассуждении получим истинное заключение:

Все слоны имеют крылья

________Все птицы – слоны_______

Все птицы имеют крылья

Это свидетельствует о том, что ориентация только на форму (структуру) посылок при игнорировании их объективно-истинных связей может создать видимость правильного умозаключения.

Во-вторых, в процессе рассуждения необходимо соблюдать правила вы­вода, которые обусловливают логическую правильность умозаключения. Без этого даже из истинных посылок можно получить ложное заключение. На­пример:

Все гусеницы едят капусту

_________Я ем капусту________

Следовательно, я – гусеница

Правил достаточно много, ряд из них закреплен в основных видах умо­заключений.

31.Дедуктивные умозаключения.

Дедуктивные умозаключения – вид умозаключений, в котором из посылок, выражающих знания большей степени общности, необходимо следует заключение, выражающее знание меньшей степени общности. Дедукция в переводе с латинского означает "выведение".
Пример: "Ни один смертный не может до конца постичь замысел Бога. Все люди смертны. Ни один человек не может до конца понять замысел Бога".
Виды дедуктивных умозаключений

1. непосредственные умозаключения, т. е. Вывод лишь из одной посылки посредством 4 способов: превращения, обращения, противопоставления предикату и по логическому квадрату.

2. силлогизмы – умозаключения, в которых из двух суждений выводится третье.

Силлогизмы, в свою очередь, делятся по характеру составляющих их суждений на категорический, условный, разделительный и их комбинации: условно-категорический, разделительно-категорический и условно-разделительный силлогизмы. По составу и полноте речевого выражения выделяют простые, сложные, сокращённые и сложносокращённые силлогизмы.

32. Разделительно-категорические умозаключения.

Категорические суждения могут образовать посылки не только с условными, но и разделительными суждениями. Разделительно-категорическими умозаключениями называются такие, в которых одна из посылок – разделительное суждение, а другая – категорическое суждение. Разделительно-категорические умозаключения имеют два модуса.

Первый из них называется утверждающе-отрицающим модусом (modus ponendo tollens). В нем одна из посылок – разделительное суждение, другая – утверждает истинность одного из членов разделительного суждения.

Тела бывают твердые, либо жидкие, либо газообразные.

Данное тело газообразное.______________________

Данное тело не твердое и не жидкое.

Схематическим этот модус может быть представлен так:

А либо В, либо С

А есть В_______

А не есть С.

Второй модус называется отрицающе - утверждающим (modus tollendo ponens), так как в нем категорическое суждение отрицает один из членов разделительного суждения, и поэтому заключение утверждает истинность другого члена разделительного суждения:

Тела бывают простые либо сложные.

Данное тело не простое.___________

Данное тело сложное.

Схематически:

А либо В, либо С

А не есть В_____

А есть С.

Обратите внимание, что во всех разделительных суждениях связка "либо" ("или") употребляется в исключающем смысле, т.е. утверждение одного из членов суждения исключает все другие члены. Поэтому, чтобы не допустить ошибки в разделительном суждении, необходимо перечислить все его взаимоисключающие члены. Например, из суждений (посылок) "Треугольники бывают остроугольные или тупоугольные" и "Данный треугольник тупоугольный" нельзя вывести правильного заключения, что "этот треугольник остроугольный", поскольку мы не указали в посылке существования прямоугольных треугольников.

Кроме условно-категорических и разделительно-категорических умозаключений существуют также чисто условные умозаключения, в которых обе посылки являются условными суждениями. Однако в сравнении с рассмотренными выше умозаключениями их модусы используются значительно реже, и мы их не будем специально касаться.

33. Условно-разделительные умозаключения.

Это те умозаключения, в которых одна посылка состоит из 2 и более условных суждений, а вторая является разделительным суждением. По количеству альтернатив в нем различают дилеммы, трилеммы и полилеммы. Дилеммы бывают конструктивными (2 условия и, следовательно, 2 следствия) и разрушительными (из 2 оснований могут вытекать 2 следствия, из которых одно отрицается в разделительной посылке, а вывод отрицает одно из оснований). Полилеммы, при полной аналогии дилеммам имеют большее число альтернатив.

Простая конструктивная полилемма: Если у всех возможных причин одно и то же следствие, оно предопределено (в примере первая посылка упрощена по правилу эквивалентности):