КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Пример К1.Уравнения движения точки в плоскости имеют вид: , (1) , (2) где время t задано в секундах, координаты x, y - в метрах.
Найти: 1. уравнение траектории точки; 2. положение точки на траектории при (начальное положение) и при c ; 3. скорость точки; 4. ускорение точки; 5. касательное , нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории . В каждом пункте выполнить соответствующие построения на рисунке.
Решение Движение точки задано координатным способом. 1. Найдем уравнение траектории, исключив из (1) и (2) параметр t - время. Способ исключения t зависит от вида функций в правых частях (1), (2). В данном случае найдем из (1), (2) соответственно . Возводя полученные соотношения в квадрат, после этого складывая их и учитывая, что , найдем : Из этого уравнения следует, что траекторией точки является эллипс, полуоси которого равны 4 м и 6 м, а центр имеет координаты (0, 0). Выберем масштаб длин и выполним рисунок. Следует заметить, что приведенный рис. 1 имеет вид, соответствующий уже окончанию решения; свой рисунок рекомендуется делать по мере продвижения решения. Это позволяет контролировать получаемые результаты и делает их более наглядными. Данное замечание относится и ко всем последующим задачам пособия. 2. Находим положение точки при , подставляя это значение t в (1) и (2): 3. Находим положение точки при , подставляя это значение t в (1) и (2): Указываем на рисунке точки и , учитывая масштаб координат. 4. Найдем скорость точки. Из теории следует, что при координатном способе задания движения определяются сначала проекции скорости на оси координат. Используя (1) и (2) - уравнения движения точки - находим , (3) . (4) Модуль скорости . Подставляя сюда (3), (4), получим . (5) При с : , , . (6)
(с учетом масштаба скоростей). Вектор направлен по касательной к траектории в точке и показывает направление движения точки по траектории. Удобно сейчас построить в точке естественные оси: касательную и главную нормаль (они потребуются позже). Касательную проводим вдоль ; главную нормаль проводим перпендикулярно в плоскости рисунка и направляем к центру кривизны траектории в точке (в сторону вогнутости траектории). 5. Находим ускорение точки, используя (3), (4): , (7) . (8) Модуль ускорения . Из (7), (8) получим . (9) Подставляя в (7) - (9) , найдем , , . (10) В точке строим в масштабе проекции ускорений , учитывая их величины и знаки, а затем строим вектор ускорения . Построив , следует проверить, получилось ли на рисунке (c учетом масштаба ускорений), и направлен ли вектор в сторону вогнутости траектории (вектор проходит через центр эллипса, но это есть особенность данной задачи, связанная с конкретным видом функций (1) и (2)). 6. Находим касательное ускорение , характеризующее изменение модуля . Учитывая (5), получим . При . (11) Касательное ускорение можно также найти, дифференцируя по времени равенство Получим , откуда следует Нормальную составляющую ускорения, характеризующую изменение направления , можно найти по формуле , (12) если - радиус кривизны траектории заранее известен, или (учитывая, что, и, следовательно, ) по формуле . (13) Так как в данной задаче радиус заранее неизвестен, то используем (13). Подставляя (10), (11) в (13), получим . (14) Вернемся к рис. 1. Ранее на этом рисунке вектор был построен по составляющим , . С другой стороны, этот вектор можно разложить на составляющие по естественным осям и (пользуясь правилом параллелограмма). Выполним это разложение и построим на рисунке векторы и . Полезно провести проверку: с учетом масштаба ускорений определить по рисунку величины , и убедиться, что они совпадают с (11), (14). Заметим, что движение точки ускоренное, т.к. направления векторов и совпадают (рис. 1). Найдем радиус кривизны , используя (12), откуда следует, что . Подставляя в последнее соотношение и из (6) и (14), получим радиус кривизны траектории в точке : . Отложим на рисунке от точки по оси отрезок длины (в масштабе длин); полученная точка есть центр кривизны траектории в точке . Объединяя полученные результаты, запишем ответ: 1. траектория точки - эллипс, имеющий уравнение ; 2. 3. 4. ; 5. ; 6. ; ; . Обсудим некоторые особенности и частные случаи, которые могут встретиться в задачах. Если траектория точки - прямая линия, то и, следовательно, . Найденное по величине и направлению ускорение равно ускорению . Если траектория точки - окружность, то , где R - радиус окружности (определяется из уравнения траектории). Если скорость V точки найдена, то . Вектор направлен к центру окружности. Касательное ускорение , полное ускорение .
|